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By Alexander Schmitt

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Ii) Das Produkt zweier verschiedener nichttrivialer Elemente in G ist das dritte nichttriviale Element. Jetzt f¨ulle man das Solitaire-Feld mit den Buchstaben a, b und c dergestalt auf, dass auf drei benachbarten Feldern in horizontaler oder vertikaler Richtung immer drei verschiedene Buchstaben stehen. B. 2 wiedergegeben. 8 Lemma. i) Jedes Element auf dem Spielfeld ist Produkt der beiden Elemente, die links oder rechts von ihm bzw. u¨ ber oder unter ihm stehen. ii) Das Produkt aller Elemente auf dem Spielfeld ist e.

Mit 1 0 0 −1 σ0 = lautet diese Gleichung σϕ/2   cos ϕ − sin 2 =  sin ϕ2 cos   cos ϕ − sin 2 =  sin ϕ2 cos   cos2 ϕ − sin2 2 =  2 · cos ϕ2 · sin = ϕ 2 ϕ 2 ϕ 2 ϕ 2 ϕ 2 ϕ 2      ·  cos − ϕ2 − sin − ϕ2 − sin − ϕ2 − cos − ϕ2    ϕ    cos ϕ sin  2 2   ·  ϕ ϕ  sin 2 − cos 2   2 · cos ϕ2 · sin ϕ2   sin2 ϕ2 − cos2 ϕ2     cos(ϕ) sin(ϕ) . 8) verwandt. Man kann die Matrix σϕ/2 auch anhand der Skizze 5 Diese Gleichung besagt, dass die Spiegelung an der betrachteten Achse erhalten werden kann, indem man zun¨achst um den Winkel −ϕ/2 dreht, so dass die Spiegelungsachse auf der x-Achse zu liegen kommt, dann an der x-Achse spiegelt und schließlich um den Winkel ϕ/2 dreht.

Davon gibt es drei St¨uck. Die spezielle Symmetriegruppe des Tetraeders umfasst also genau 12 Elemente. 10 Aufgabe (Die Tetraedergruppe). Es seien    1    P =  1  ,   1    −1    Q =  −1  ,   1    −1    S =  1  . 6 Schließen Sie, dass die angegebenen Punkte die Eckpunkte eines regul¨aren Tetraeders T sind. b) Geben Sie die Elemente der speziellen Symmetriegruppe SO(T ) in Form von (3×3)Matrizen an. 11 Aufgabe (W¨urfel, Okta- und Dodekaeder).

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by Michael
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